¿Puede una persona con asma convertirse en piloto?

Sí, siempre que se cumplan ciertas condiciones. Ver: http://www.faa.gov/about/office_…

El asma no es una condición descalificante para ninguna de las tres clases de certificados médicos de aviación: Guía para examinadores médicos de aviación

Sí, siempre y cuando no lo tengas de nuevo. Hasta entonces, eres elegible para aplicar.