Posiblemente. El hecho de que sea mejorado más allá de lo humano no significa que sea inmune a todas las enfermedades y no olvide que el cáncer no es solo una enfermedad. Es una mutación aleatoria que genera otras enfermedades o falla de la función orgánica.
Definitivamente creo que PUEDE tener cáncer. Hubo una escena en la que Bucky le pegó un tiro a Cap. Mientras sus atributos físicos y hazañas aumentan, no posee un factor de curación sobrehumano como Wolverine o Deadpool y definitivamente puede sentir dolor cuando se lastima como lo haría una persona normal.
Probablemente tomaría una dosis más alta de radiación o factor de contaminación para que Cap se enferme, posiblemente la misma cantidad de radiación utilizada cuando se creó Hulk.